点P为抛物线y=x2-2mx+m2(m为常数,m>0)上任一点,将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点(点A在点B的上方),点Q为点P旋转后的对应点. (1)当m=2,点P横坐标为4

问题描述:

点P为抛物线y=x2-2mx+m2(m为常数,m>0)上任一点,将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点(点A在点B的上方),点Q为点P旋转后的对应点.
(1)当m=2,点P横坐标为4时,求Q点的坐标;
(2)设点Q(a,b),用含m、b的代数式表示a;
(3)如图,点Q在第一象限内,点D在x轴的正半轴上,点C为OD的中点,QO平分∠AQC,AQ=2QC,当QD=m时,求m的值.

(1)当m=2时,y=(x-2)2
则G(2,0),
∵点P的横坐标为4,且P在抛物线上,
∴将x=4代入抛物线解析式得:y=(4-2)2=4,
∴P(4,4),
如图,连接QG、PG,过点Q作QF⊥x轴于F,过点P作PE⊥x轴于E,
依题意,可得△GQF≌△PGE;
则FQ=EG=2,FG=EP=4,
∴FO=2.
∴Q(-2,2).

(2)已知Q(a,b),则GE=QF=b,FG=m-a;
由(1)知:PE=FG=m-a,GE=QF=b,即P(m+b,m-a),
代入原抛物线的解析式中,得:m-a=(m+b)2-2m(m+b)+m2
m-a=m2+b2+2mb-2m2-2mb+m2
a=m-b2
故用含m,b的代数式表示a:a=m-b2
(3)如图,延长QC到点E,使CE=CQ,连接OE;
∵C为OD中点,
∴OC=CD,
∵∠ECO=∠QCD,
∴△ECO≌△QCD,
∴OE=DQ=m;
∵AQ=2QC,
∴AQ=QE,
∵QO平分∠AQC,
∴∠1=∠2,
∴△AQO≌△EQO,
∴AO=EO=m,
∴A(0,m),
∵A(0,m)在新图象上,
∴0=m-m2
∴m1=1,m2=0(舍),
∴m=1.