设A为3阶非零实矩阵,且A*=-AT,证明：|A|=-1
问题描述：
设A为3阶非零实矩阵,且A*=-AT,证明：|A|=-1
答
因为A*=-A^T
所以Aij=-aij
因为A为3阶非零实矩阵
所以必有一行元素不全为0
设i行不全为0,按第i行展开
|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3
=-(ai1)²-(ai2)²-(ai3)²
≠0
AA*=|A|E
-AA^T=|A|E
(-1)³|A||A^T|=|A|³
-|A|²=|A|³
|A|²(|A|+1)=0
所以|A|=-1