设2003X的三次方=2004Y的三次方=2005Z的三次方,XYZ＞0,且三次根号下2003X的二次方+2004Y的二次方+2005Z的二次方=三次根号下2003+三次根号下2004+三次根号下2005.求X分之一+Y分之一+Z分之一的值
问题描述：
设2003X的三次方=2004Y的三次方=2005Z的三次方,XYZ＞0,且三次根号下2003X的二次方+2004Y的二次方+2005Z的二次方=三次根号下2003+三次根号下2004+三次根号下2005.求X分之一+Y分之一+Z分之一的值
答
∵xyz＞0且2003x³=2004y³=2005z³∴x,y,z＞0
设2003x³=2004y³=2005z³=1/k(k＞0)
则1/2003x³=1/2004y³=1/2005z³=k
1/x=(2003k)^(1/3),1/y=(2004k)^(1/3),1/z=(2005k)^(1/3)
∴1/x+1/y+1/z
=[2003^(1/3)+2004^(1/3)+2005^(1/3)]*k^(1/3)
=(2003x²+2004y²+2005z²)^(1/3)*k^(1/3)
=(2003kx²+2004ky²+2005kz²)^(1/3)
=(1/x+1/y+1/z)^(1/3)
∴1/x+1/y+1/z=1或-1
又∵xyz＞0且x,y,z＞0
∴1/x+1/y+1/z＞0
∴1/x+1/y+1/z=1