设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y＝1−1x(x＞0)上，则|PQ|的最小值为（ ） A.22(e−1) B.2(e−1) C.22 D.2
问题描述：
设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y＝1−
(x＞0)上，则|PQ|的最小值为（ ）1 x
A.
(e−1)
2
2
B.
(e−1)
2
C.
2
2
D.
2
答
如图，
因为y=ex的反函数是y=lnx，两个函数的图象关于直线y=x对称，
所以曲线y=ex上的点P到直线y=x的距离等于在曲线y=lnx上的对称点P′到直线y=x的距离．
设函数f（x）=lnx-1+
，1 x
f′(x)＝
−1 x
=1 x2
，x−1 x2
当0＜x＜1时，f′（x）0，所以函数f（x）在（0，+∞）上有最小值f（1）=0，
则当x＞0时，除（1，0）点外函数y=lnx的图象恒在y=1-
的上方，在（1，0）处两曲线相切．1 x
求曲线y=ex上的点P与曲线y=1-
上的点Q的距离的最小值，可看作是求曲线y=lnx上的点P′与Q点1 x
到直线y=x的距离的最小值的和，而函数y=lnx与y=1-
在x=1时的导数都是1，说明与直线y=x平行的直线1 x
与两曲线切于同一点（1，0）则PQ的距离的最小值为（1，0）点到直线y=x距离的2倍，
所以|PQ|的最小值为2×
＝1
12+12
．
2
故选D．