设f(x)在[0,1]上有二阶连续导数,且满足f(1)=f(0)及|f''(x)|
问题描述：
设f(x)在[0,1]上有二阶连续导数,且满足f(1)=f(0)及|f''(x)|
数学人气：629 ℃时间：2020-07-14 12:10:02
优质解答
Taylor展式：对任意的x,
f(0)＝f(x)+f'(x)(0－x)+f''(c1)(0－x)^2/2,
f(1)＝f(x)+f'(x)(1－x)+f''(c2)(1－x)^2/2.
两式相减,得
f'(x)＝f''(c1)x^2/2－f''(c2)(1－x)^2/2,
取绝对值并利用条件得
|f'(x)|最后的不等式是因为x^2+(1－x)^2在[0,1]
上的最大值是1.
f(0)＝f(x)+f'(x)(0－x)+f''(c1)(0－x)^2/2,
f(1)＝f(x)+f'(x)(1－x)+f''(c2)(1－x)^2/2.
两式相减,得
f'(x)＝f''(c1)x^2/2－f''(c2)(1－x)^2/2,
取绝对值并利用条件得
|f'(x)|最后的不等式是因为x^2+(1－x)^2在[0,1]
上的最大值是1.
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答
Taylor展式：对任意的x,
f(0)＝f(x)+f'(x)(0－x)+f''(c1)(0－x)^2/2,
f(1)＝f(x)+f'(x)(1－x)+f''(c2)(1－x)^2/2.
两式相减,得
f'(x)＝f''(c1)x^2/2－f''(c2)(1－x)^2/2,
取绝对值并利用条件得
|f'(x)|最后的不等式是因为x^2+(1－x)^2在[0,1]
上的最大值是1.