求一个三阶矩阵的特征值和特征向量:求(1 2 3 2 1 3 3 3 6)的特征值和特征向量

设此矩阵A的特征值为λ
则
|A-λE|=
1-λ2 3
21-λ3
3 36-λ第2列减去第1列
=
1-λ λ+13
2-1-λ 3
3 0 6-λ 第1行加上第2行
=
3-λ 06
2-1-λ 3
3 0 6-λ按第2列展开
=(-1-λ)(λ²-9λ)=0
解得λ=9,0或-1
当λ=9时,
A-9E=
-823
2 -83
33 -3第1行加上第2行×4,第3行除以3,
～
0 -30 15
2-8 3
1 1-1第1行除以-15,第2行减去第3行乘以2
～
02-1
0 -10 5
11-1第2行加上第1行×5,第1行乘以1/2,第3行减去第1行,交换行
～
1 0 -1/2
0 1 -1/2
0 0 0
得到特征向量(1,1,2)^T
当λ=0时,
A=
123
213
336 第2行减去第1行乘以2,第3行减去第1行乘以3
～
123
0 -3 -3
0 -3 -3第3行减去第2行,第2行除以-3,第1行减去第2行乘以2
～
1 0 1
0 1 1
0 0 0
得到特征向量(1,1,-1)^T
当λ= -1时,
A+E=
223
223
337 第2行减去第1行,第3行减去第1行× 3/2
～
2 2 3
0 0 0
0 0 2.5 第3行除以2.5,第1行减去第3行×3,交换第2和第3行
～
2 2 0
0 0 1
0 0 0
得到特征向量(1,-1,0)^T
所以此矩阵的特征值为9,0,-1
对应的特征向量为：(1,1,2)^T,(1,1,-1)^T,(1,-1,0)^T