详细的如图,直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,一直AD=AB=3,BC=4,懂点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速直线运动,动点Q从点D出发,沿线段DA向点A作匀速直线运动,过Q点垂直于AC于点M,交BC于点N.P、Q两

问题描述:

详细的如图,直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,一直AD=AB=3,BC=4,懂点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速直线运动,动点Q从点D出发,沿线段DA向点A作匀速直线运动,过Q点垂直于AC于点M,交BC于点N.P、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当Q点运动到A点,P、Q亮点同时停止运动,设点Q运动的时间为t秒.
(1)求NC,MC的长(用t的代数式表示)
(2)当t为何时,四边形PCDQ构成平行四边形
(3)是否存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分?若存在,求t的值,不存在,说明理由.
(4)探究,t为何值时,△PMC为等腰三角形

(1)在直角梯形ABCD中,
∵QN⊥AD,∠ABC=90°,∴四边形ABNQ是矩形.
∵QD=t,AD=3,∴BN=AQ=3-t,∴NC=BC-BN=4-(3- t)= t+1.
∵AB=3,BC=4,∠ABC=90°,∴AC=5.
∵QN⊥AD,∠ABC=90°,∴MN‖AB,∴△MNC∽△ABC,
即 ,∴MC=5t+1/4 .
(2)当QD=CP时,四边形PCDQ构成平行四边形.
∴当t=4-t,即t=2时,四边形PCDQ构成平行四边形.
(3)∵MN‖AB,
∴△MNC∽△ABC,要使射线QN将△ABC的面积平分,则△MNC与△ABC的面积比为1:2,即相似比为1:,∴ ,即 ,∴t= .∴CN= ,MC= ,∴CN+MC= ,∵△ABC的周长的一半= =6≠ ,∴不存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分.
(4)分3种情况:
①如图,当PM=MC时,△PMC为等腰三角形.
则PN=NC,即3-t-t=t+1,
∴ ,即 时,△PMC为等腰三角形.
②如图,当CM=PC时,△PMC为等腰三角形.
即 ,
∴ 时,△PMC为等腰三角形.
③如图,当PM=PC时,△PMC为等腰三角形.
∵PC=4-t,NC=t+1,
∴PN=2t-3,
又∵ ,
∴MN= ,
由勾股定理可得[ ]2+(2t-3)2=(4-t)2,
即当t= 时,△PMC为等腰三角形.