已知向量a=(cos二分之三x,sin二分之三x),b=(cos二分之x,-sin二分之x),且x∈[0,二分之π]
问题描述：
已知向量a=(cos二分之三x,sin二分之三x),b=(cos二分之x,-sin二分之x),且x∈[0,二分之π]
①求a·b及|a+b|
②求函数f(x)=a·b-4m|a+b|+1的最小值g(m)
答
a=(cos(3x/2),sin(3x/2))
b=(cos(x/2),-sin(x/2))
因此,
a·b
=cos(3x/2)cos(x/2)-sin(3x/2)sin(x/2)
=cos(3x/2+x/2)
=cos(2x)
|a+b|
=√(a+b)^2
=√(a^2+b^2+2ab)
=√(1+1+2cos(2x))
=√2√(1+cos(2x))
=√2√(1+2cos^2x-1)
=2|cosx|
因为x∈[0,π/2],cosx∈[0,1]
=2cosx
f(x)
=a·b-4m|a+b|+1
=cos(2x)-8mcosx+1
=2cos^2x-8mcosx
为求简化表达式,换元t=cosx∈[0,1]
f(x)=h(t)=2t^2-8mt
对对称轴t=2m分类讨论：
1.2m≥1：h(t)单调递减,g(m)=f(x)min=h(1)=2-8m
2.2m≤0：h(t)单调递增,g(m)=f(x)min=h(0)=0
3.0