a、b、c是不全相等的正数,求证：a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc
问题描述：
a、b、c是不全相等的正数,求证：a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>6abc
答
证明：由题意可知
原式=a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)
≥a·2bc+b·2ac+c·2ab
≥6abc
又a、b、c不全相等，则等号不成立。
故原式得证。
此题旨在考察：a2+b2>2ab（a≠b）
答
a(b^2+c^2)≥a*2bc=2abc,b(c^2+a^2)≥b*2ac=2abc,c(a^2+b^2)≥c*2ab=2abc,则三式相加得 a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)≥6abc 又a、b、c是不全相等的正数,故等号不能取到.