已知对于任意非零实数m,不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|(|x-1|-|2x+3|)恒成立,求实数x的取值范围.

问题描述:

已知对于任意非零实数m,不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|(|x-1|-|2x+3|)恒成立,求实数x的取值范围.

已知对于任意非零实数m,不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|(|x-1|-|2x+3|)恒成立
:即|x−1|−|2x+3|≤

|2m−1|+|1−m|
|m|
恒成立
因为:
|2m−1|+|1−m|
|m|
|2m−1+1−m|
|m|
=1

所以只需|x-1|-|2x+3|≤1
①当x≤−
3
2
时,原式1-x+2x+3≤1,即x≤-3,所以x≤-3
②当
3
2
<x<1
时,原式1-x-2x-3≤1,即x≥-1,所以-1≤x<1
③当x≥1时,原式x-1-2x-3≤1,即x≥-5,所以x≥1.
综上x的取值范围为(-∞,-3]∪[-1,+∞).
故答案为(-∞,-3]∪[-1,+∞).