已知对于任意非零实数m,不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|(|x-1|-|2x+3|)恒成立,求实数x的取值范围.
问题描述:
已知对于任意非零实数m,不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|(|x-1|-|2x+3|)恒成立,求实数x的取值范围.
答
已知对于任意非零实数m,不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|(|x-1|-|2x+3|)恒成立
:即|x−1|−|2x+3|≤
恒成立|2m−1|+|1−m| |m|
因为:
≥|2m−1|+|1−m| |m|
=1|2m−1+1−m| |m|
所以只需|x-1|-|2x+3|≤1
①当x≤−
时,原式1-x+2x+3≤1,即x≤-3,所以x≤-33 2
②当−
<x<1时,原式1-x-2x-3≤1,即x≥-1,所以-1≤x<13 2
③当x≥1时,原式x-1-2x-3≤1,即x≥-5,所以x≥1.
综上x的取值范围为(-∞,-3]∪[-1,+∞).
故答案为(-∞,-3]∪[-1,+∞).