如图所示,等边△ABC的边长a=25+123,点P是△ABC内的一点,且PA2+PB2=PC2,若PC=5,求PA,PB的长.

问题描述:

如图所示,等边△ABC的边长a=

25+12
3
,点P是△ABC内的一点,且PA2+PB2=PC2,若PC=5,求PA,PB的长.

以B为中心,按60度旋转△BAP,使得A点旋转至C点,P点至Q.
∵PA2+PB2=PC2
∴△PCQ为直角三角形,∠CQP=90°.
∴∠CQB=150°.
BC2=CQ2+BQ2-2CQ•BQcos150°
=PA2+PB2-2PA•PB(-

3
2

=PC2+
3
PA•PB
=25+
3
PA•PB.
BC2=25+12
3

∴PA•PB=12,
∵PA2+PB2=25,
∴PA=3,PB=4或PA=4,PB=3.