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线性代数;设4维列向量a1,a2,a3线性无关且与4维列向量b1,b2均正交,证明b1,b2线性相关参考书上写r(b1,b2)=n-r(a)什么意思,a1,a2,a3,b1,b2为什么一定是线性相关呢,

分类: 作业答案 • 2021-12-19 15:05:55
问题描述：

线性代数;设4维列向量a1,a2,a3线性无关且与4维列向量b1,b2均正交,证明b1,b2线性相关
参考书上写r(b1,b2)=n-r(a)什么意思,a1,a2,a3,b1,b2为什么一定是线性相关呢,

答

以a1,a2,a3的转置为行向量构造方程组Ax=0,则向量b1,b2都是方程组Ax=0的解.Ax=0有3个方向,4个未知量,因为a1,a2,a3线性无关,所以A的秩r(A)=3,所以Ax=0的基础解系里面有4-3=1个向量.
b1,b2都是Ax=0的解,可由Ax=0的基础解系线性表示,所以r(b1,b2)≤1,所以b1,b2线性相关.

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