已知函数f(x)=|x^2+2x|,若关于x的方程f^2(x)+bf(x)+c=0,有七个不同的实数解,则b,c的大小关系?
问题描述：
已知函数f(x)=|x^2+2x|,若关于x的方程f^2(x)+bf(x)+c=0,有七个不同的实数解,则b,c的大小关系?
答
令f（x)=t,则 （f(x)）^2 + bf(x) + c = t^2 + bt +c
f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同的实数解,指的是x有7个不同的答案,
但对于t而言只有2个实数解 t1、t2,不妨设t1＞t2
观察函数f(x)=|x^2 + 2x|的图像,
发现要使对于 t1、t2,有不同的7个x与之对应,
那么直线 y＝t1 、 y＝t2 与 y＝f（x）有且仅有7个交点,
考虑到t1＞t2,
则有 t1 ＝ 1 （此时直线 y＝t1 和 y＝f（x）有3个交点）
0＜t2＜1,（此时直线 y＝t21 和 y＝f（x）有4个交点）
根据韦达定理,对于方程 t^2 + bt +c ＝ 0
有 t1 + t2 ＝ －b ∴ 0＞ b ＞-2
t1 * t2 ＝ c ∴ 1＞ c ＞0
由此判定 b ＞ c