设M是由满足下列条件的函数f（x）（x∈R）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1． （Ⅰ）判断函数f（x）=x/2+cos/8-1/8是否是集合M中的元素，
问题描述：
设M是由满足下列条件的函数f（x）（x∈R）构成的集合：①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．
（Ⅰ）判断函数f（x）=
+x 2
-cos 8
是否是集合M中的元素，并说明理由；1 8
（Ⅱ）若函数f（x）是集合M中的一个元素，x0是方程f（x）-x=0的实数根，求证：对于定义域中的任意两个实数x1，x2，当|x0-x1|＜1且|x2-x0|＜1时，不等式|f（x2）-f（x1）|＜2成立．
答
（I）因为f′（x）=
-1 2
，所以f′（x）∈[sinx 8
，3 8
]，满足条件0＜f′（x）＜1，5 8
又因为当x=0时，f（
）-π 4
＞0，f（π）-π＜0，π 4
所以方程f（x）-x=0有实数根．
所以函数f（x）=
+x 2
-cos 8
是集合M中的元素．1 8
（II）不妨设x1＜x2，因为f'（x）＞0，
所以f（x）为增函数，
所以f（x1）＜f（x2），
又因为f'（x）-1＜0，
所以函数f（x）-x为减函数，
所以f（x1）-x1＞f（x2）-x2，
所以0＜f（x2）-f（x1）＜x2-x1，
即|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|，
所以|f（x2）-f（x1）|＜|x2-x1|=|x2-x0-（x1-x0）|≤|x2-x0|+|x1-x0|＜2．