一元多项式证明求解设f(x) 属于 C[x],是非零多项式且f(x)|f(x的m次方),求证:f(x)的根只能是零或者1的某 个方根.
问题描述：
一元多项式证明求解
设f(x) 属于 C[x],是非零多项式且f(x)|f(x的m次方),求证:f(x)的根只能是零或者1的某 个方根.
答
条件需要m > 1.
由f(x) | f(x^m),若α是f(x)的根则α也是f(x^m)的根.
即有f(α^m) = 0,也即α^m也是f(x)的根.
由此可以得到一个序列:α,α^m,α^(m²),...,它们都是f(x)的根.
由f(x)不为零多项式,f(x)只有有限个根.
因此上述序列中至少有两项相等.
设有α^p = α^q,p 若α = 0,结论成立.若α ≠ 0,有α^(q-p) = 1,结论也成立.
证毕.