三角形ABD和三角形BCE是在直线同侧的两个等边三角形用坐标法证明|AE|=|CD|

问题描述:

三角形ABD和三角形BCE是在直线同侧的两个等边三角形用坐标法证明|AE|=|CD|

以A为原点,AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,并使D、E落在第一象限内.
显然,A的坐标为(0,0).令B、C的坐标分别为(m,0)、(m+n,0).
∵△ABD、△BCE都是等边三角形,且D、E在第一象限内,
∴D、E分别在AB、BC的垂直平分线上,且D、E与AC的距离容易求出分别为√3m/2、√3n/2.
∴D、E的坐标分别为(m/2,√3m/2)、(m+n/2,√3n/2).
由两点间距离公式,有:
|AE|=√[(m+n/2-0)^2+(√3n/2-0)^2]=√[(m+n/2)^2+3n^2/4]
   =√(m^2+mn+n^2/4+3n^2/4)=√(m^2+n^2+mn).
|CD|=√[m/2-m-n)^2+(√3m/2-0)^2]=√[(m/2+n)^2+3m^2/4]
   =√(m^2/4+mn+n^2+3m^2/4)=√(m^2+n^2+mn).
∴|AE|=|CD|.