如何判断无理数的无理数次幂为无理数
问题描述：
如何判断无理数的无理数次幂为无理数
设根号2的根号2次幂=q/p,（q,p）=1,则q>1,将q经行质因数分解,则一定存在M使q的M次方根为无理数,如何证明,q/p的M次方根也为无理数?
答
“无理数的无理次幂为无理数”这句话明显是错的.
证明如下：设a、b均为无理数,按照上面的结论,那么必有：a^b=c为无理数--------------------①
对于任意的有理数d,那么必然有d^(1/b)为有理数,否则[d^(1/b)]^b=d为无理数,矛盾
所以我们由①可以得出结论：
如果a为有理数,b为无理数,那么a^b=d为有理数----------------------------------------②
做一个函数：f（x）=2^x-1,定义域为(1,+∞)
那么对应的值域也是(1,+∞),且是严格单调递增的
按照②的结论,当x为无理数的时候,f（x）为有理数!
也就是(1,+∞)上的无理数都能够在(1,+∞）上找到一个唯一的映射
这是不可能的,因为无理数的基数比有理数的基数大.这是集合论的结论,通
俗点讲就是说无理数比有理数多.
矛盾,所以①不成立.
证明的思路不一样.