设两个向量e1e2满足|e1|=1e2|=1向量e1与e2的夹角为π/3,若向量2te1+7e与2e1+te2的夹角为钝角求实数t的范

问题描述:

设两个向量e1e2满足|e1|=1e2|=1向量e1与e2的夹角为π/3,若向量2te1+7e与2e1+te2的夹角为钝角求实数t的范

我尝试用坐标点的方法,如图
e1=(2,0),e2=(1/2,√3/2)
2te1+7e2=(4t+7/2,7√3/2)
e1+te2=(2+t/2,√3t/2)
(2te1+7e2)*(e1+te2)
=(4t+7/2)*(2+t/2)+(7√3/2)*(√3t/2)
=2(t^2)+15t+7
|2te1+7e2|*|e1+te2|
=√((16t^2+28t+49)*(t^2+t+4))
cosa=(2(t^2)+15t+7)/√((16t^2+28t+49)*(t^2+t+4))为钝角
只需证明cosa<0即可
(2(t^2)+15t+7)/√((16t^2+28t+49)*(t^2+t+4))<0
2(t^2)+15t+7<0,解得 -7<t<-1/2
所以范围是 -7<t<-1/2
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