已知过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．求证：（1）x1x2为定值；（2）1/|FA|+1/|FB|为定值．

分类: 作业答案 • 2023-01-08 02:34:12

问题描述：

已知过抛物线y²=2px（p>0）的焦点F的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．求证：
（1）x₁x₂为定值；
（2）

|FA|

|FB|

为定值．

答

（1）抛物线的焦点为F（p2，0），设直线AB的方程为y=k（x-p2）（k≠0），由y=k(x-p2)y2=2px，消去y，得k2x2-p（k2+2）x+k2p24=0，由根与系数的关系，得x1x2=p24（定值）．当AB⊥x轴时，x1=x2=p2，x1x2=p24，也成立．...