为什么五次以上的方程没有求根公式?

从方程的根式解法发展过程来看,早在古巴比伦数学和印度数学的记载中,他们就能够用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0,给出的解相当于+,这是对系数函数求平方根.接着古希腊人和古东方人又解决了某些特殊的三次数字方程,但没有得到三次方程的一般解法.这个问题直到文艺复兴的极盛期（即16世纪初）才由意大利人解决.他们对一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0,由卡丹公式解出根 x=+ ,其中p = ba2,q = a3,显然它是由系数的函数开三次方所得.同一时期,意大利人费尔拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系数的函数开四次方所得.
用根式求解四次或四次以下方程的问题在16世纪已获得圆满解决,但是在以后的几个世纪里,探寻五次和五次以上方程的一般公式解法却一直没有得到结果.1770年前后,法国数学家拉格朗日转变代数的思维方法,提出方程根的排列与置换理论是解代数方程的关键所在,并利用拉格朗日预解式方法,即利用1的任意n次单位根 （ n =1）引进了预解式x1+ x2+ 2x3+…+n-1xn,详细分析了二、三、四次方程的根式解法.他的工作有力地促进了代数方程论的进步.但是他的这种方法却不能对一般五次方程作根式解,于是他怀疑五次方程无根式解.并且他在寻求一般n次方程的代数解法时也遭失败,从而认识到一般的四次以上代数方程不可能有根式解.他的这种思维方法和研究根的置换方法给后人以启示.
1799年,鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的,从而转证五次以上方程是不可用根式求解的,但他的证明不完善.同年,德国数学家高斯开辟了一个新方法,在证明代数基本理论时,他不去计算一个根,而是证明它的存在.随后,他又着手探讨高次方程的具体解法.在1801年,他解决了分圆方程xp-1=0（p为质数）可用根式求解,这表明并非所有高次方程不能用根式求解.因此,可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明.
随后,挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题.1824年到1826年,阿贝尔着手考察可用根式求解的方程的根具有什么性质,于是他修正了鲁菲尼证明中的缺陷,严格证明：如果一个方程可以根式求解,则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数.并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解.接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题.在高斯分圆方程可解性理论的基础上,他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题,发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x）的有理函数,并且任意两个根q1(x)与q2(x)满足q1q2(x)=q2q1(x),q1,q2为有理函数.现在称这种方程为阿贝尔方程.其实在对阿贝尔方程的研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果,只是阿贝尔没能意识到,也没有明确地构造方程根的置换集合（因为若方程所有的根都用根x1来表示成有理函数qj(x1),j=1,2,3,…,n,当用另一个根xi代替x1时,其中1〈i≤n ,那么qj(xi)是以不同顺序排列的原方程的根,j=1,2,…,n.实际上应说根xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(xi)是根x1,x2,…,xn的一个置换）,而仅仅考虑可交换性q1q2(x)=q2q1(x)来证明方程只要满足这种性质,便可简化为低次的辅助方程,辅助方程可依次用根式求解.
阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题,却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题.法国数学家伽罗瓦正是处在这样的背景下,开始接手阿贝尔未竞的事业.
伽罗瓦在证明不存在一个五次或高于五次的方程的一般根式解法时,与拉格朗日相同,也从方程根的置换入手.当他系统地研究了方程根的排列置换性质后,提出了一些确定的准则以判定一个已知方程的解是否能通过根式找到,然而这些方法恰好导致他去考虑一种称之为“群”的元素集合的抽象代数理论.在1831年的论文中,伽罗瓦首次提出了“群”这一术语,把具有封闭性的置换的集合称为群,首次定义了置换群的概念.他认为了解置换群是解决方程理论的关键,方程是一个其对称性可用群的性质描述的系统.他从此开始把方程论问题转化为群论的问题来解决,直接研究群论.他引入了不少有关群论的新概念,从而也产生了他自己的伽罗瓦群论,因此后人都称他为群论的创始人.
对有理系数的n次方程x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0（1）
假设它的n个根x1,x2,…,xn的每一个变换叫做一个置换,n个根共有n!个可能的置换,它们的集合关于置换的乘法构成一个群,是根的置换群.方程的可解性可以在根的置换群的某些性质中有所反映,于是伽罗瓦把代数方程可解性问题转化为与相关的置换群及其子群性质的分析问题.现在把与方程联系起的置换群（它表现了方程的对称性质）称为伽罗瓦群,它是在某方程系数域中的群.一个方程的伽罗瓦群是对于每一个其函数值为有理数的关于根的多项式函数都满足这个要求的最大置换群,也可以说成对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数,伽罗瓦群中的每个置换都使这函数的值不变.伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论,但他并不局限于此,而是把群论进行了推广,作用于其他研究领域.可惜的是,伽罗瓦群论的理论毕竟太深奥,对十九世纪初的人们来说是很难理解的,连当时的数学大师都不能理解他的数学思想和他的工作的实质,以至他的论文得不到发表.更不幸的是伽罗瓦在二十一岁时便因一场愚蠢的决斗而早逝,我们不得不为这位天才感到惋惜.到十九世纪六十年代,他的理论才终于为人们所理解和接受.
伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一.他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答,解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题.伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法,圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的.最重要的是,群论开辟了全新的研究领域,以结构研究代替计算,把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式,并把数学运算归类,使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支,对近世代数的形成和发展产生了巨大影响.同时这种理论对于物理学、化学的发展,甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响.http://www.nhyz.org/psz/%CA%FD%D1%A7%CA%B7/buer.html