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如图，M是抛物线y2=x上的一个定点，动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B，且|MA|=|MB|．证明：直线EF的斜率为定值．

分类: 作业答案 • 2023-01-06 17:16:19

问题描述：

如图，M是抛物线y²=x上的一个定点，动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B，且|MA|=|MB|．证明：直线EF的斜率为定值．

答

设K，直线ME的斜率为 k（k＞0），
则直线MF的斜率为-k，直线ME 的方程为
y-y₀=k（x-y₀²），由

y−y0＝k(x−y02)

y2＝x

得ky²-y+y₀（1-ky₀）=0．
于是y0yE＝

y0(1−ky0)

k

，
所以yE＝

1−ky0

k

．
同理可得yF＝

1+ky0

−k

，
∴kEF＝

yE−yF

xE−xF

=

yE−yF

yE2−yF2

=

1

yE+yF

＝−

1

2y0

（定值）