如图,M是抛物线y2=x上的一个定点,动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B,且|MA|=|MB|.证明:直线EF的斜率为定值.

问题描述:

如图,M是抛物线y2=x上的一个定点,动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B,且|MA|=|MB|.证明:直线EF的斜率为定值.

设K,直线ME的斜率为 k(k>0),
则直线MF的斜率为-k,直线ME 的方程为
y-y0=k(x-y02),由

y−y0=k(x−y02)
y2=x

得ky2-y+y0(1-ky0)=0.
于是y0yE
y0(1−ky0)
k

所以yE
1−ky0
k

同理可得yF
1+ky0
−k

kEF
yEyF
xExF
=
yEyF
yE2yF2
=
1
yE+yF
=−
1
2y0
(定值)