如图,M是抛物线y2=x上的一个定点,动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B,且|MA|=|MB|.证明:直线EF的斜率为定值.
问题描述:
如图,M是抛物线y2=x上的一个定点,动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B,且|MA|=|MB|.证明:直线EF的斜率为定值.
答
设K,直线ME的斜率为 k(k>0),
则直线MF的斜率为-k,直线ME 的方程为
y-y0=k(x-y02),由
y−y0=k(x−y02)
y2=x
得ky2-y+y0(1-ky0)=0.
于是y0yE=
,
y0(1−ky0) k
所以yE=
.1−ky0
k
同理可得yF=
,1+ky0
−k
∴kEF=
=
yE−yF
xE−xF
=
yE−yF
yE2−yF2
=−1
yE+yF
(定值)1 2y0