求前n个自然数的平方和公式,还要证明方法.据说现在证明方法有十几种,请罗列越多越好.

问题描述:

求前n个自然数的平方和公式,还要证明方法.据说现在证明方法有十几种,请罗列越多越好.

1²+2²+…+n²=n(n+1)(2n+1)/6
我只知道用数学归纳法.
证明:1)当n=1时 左边=1,右边=1(1+1)(2+1)/6=1 左边=右边∴等式成立
2)设n=k时 等式成立 即1²+2²+…+k²=k(k+1)(2k+1)/6
∴n=k+1时
1²+2²+…+k²+(k+1)²=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²
=k(k+1)(2k+1)/6+6(k+1)²/6
={(k+1) [k(2k+1)+6(k+1)]}/6
=(k+1) [2k²+7k+6]/6
=(k+1)(k+2)(2k+3) /6
=(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1] /6
即n=k+1时等式也成立
综合1)和2)知,等式对于所有自然数n都成立.