用数学归纳法证明不等式:1/n+1/n+1+1/n+2+…+1/n2>1(n∈N*且n>1).

问题描述:

用数学归纳法证明不等式:

1
n
+
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
n2
>1(n∈N*且n>1).

证明:(1)当n=2时,左边=

1
2
+
1
3
+
1
4
13
12
>1,∴n=2时成立(2分)
(2)假设当n=k(k≥2)时成立,即
1
k
+
1
k+1
+
1
k+2
+…+
1
k2
>1

那么当n=k+1时,左边=
1
k+1
+
1
k+2
+
1
k+3
+…+
1
(k+1)2

=
1
k
+
1
k+1
+
1
k+2
+
1
k+3
+…+
1
k2+2k
+
1
(k+1)2
1
k

1+
1
k2+1
+
1
k2+2
+…+
1
(k+1)2
1
k

>1+(2k+1)•
1
(k+1)2
1
k
>1+
k2−k−1
k2+2k+1
>1
∴n=k+1时也成立(7分)
根据(1)(2)可得不等式对所有的n>1都成立(8分)