等腰Rt△ABC,角CAB=90,以AB为边向外作等边△ABD,AE垂直BD,CD、AE交于点M,求DM=1/2BC
问题描述：
等腰Rt△ABC,角CAB=90,以AB为边向外作等边△ABD,AE垂直BD,CD、AE交于点M,求DM=1/2BC
答
分析：设若结论成立,DM是BC的一半,而DE是DB也就是AB的一半.所以只要证明三角形DME为等腰直角三角形即可.也就是∠DME=45°即可.
考虑到三角形DAC为等腰三角形,∠CAD=90°+60°=150°
所以∠ADC=15°
∠DME=∠AMC=∠ADM+∠DAM=15°+30°=45°
问题得证.
证明：
∵AC=AB=AD
∴三角形DAC为等腰三角形
∠CAD=∠CAB+∠BAD=90°+60°=150°
∴∠ADC=1/2(180°-∠CAD）=15°
∴∠DME=∠AMC=∠ADM+∠DAM=15°+30°=45°
∵AE⊥BD
∴△CME为等腰直角三角形 即△CME∽△CAB
而DE=1/2AB ∴DM=1/2BC