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I=二重积分∫∫（（x²+ y²）^1/2-xy）dxdy,其中D=﹛（（x,y）|x²+y²≤1﹜则I=要详细过程

分类: 作业答案 • 2022-09-27 14:29:03
问题描述：

I=二重积分∫∫（（x²+ y²）^1/2-xy）dxdy,其中D=﹛（（x,y）|x²+y²≤1﹜则I=
要详细过程

答

利用极坐标变换得积分如下
用极坐标变换x=rcosa，y=rsina，0I=二重积分∫∫（（x²+ y²）^1/2-xy）dxdy，其中D=﹛（（x，y）|x²+y²≤1﹜
=∫（从0到2pi）da∫ （从0到1）(r^2-r^3sin2a/2)dr
=2pi*（1/3）+1/18
=2pi/3+1/18
谢谢

答

积分区域关于x轴对称,被积函数xy关于x轴是奇函数（f(x,-y)=-f(x,y)),积分值为0.
对第一个积分用极坐标变换x=rcosa,y=rsina,0

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