已知f(x)=|x-a| g(x)=ax ,a∈R若a>0,记F(x)=f(x)*g(x),求F(x)在区间[1,2]上的最大值
问题描述：
已知f(x)=|x-a| g(x)=ax ,a∈R
若a>0,记F(x)=f(x)*g(x),求F(x)在区间[1,2]上的最大值
答
对a分类讨论再求导足矣；；；
（i）a(ii)1(iii)a>2
答
f(x)=|x-a| g(x)=ax
F(x)=f(x)*g(x)
f(x)>0,g(x)>0
(f(x)-g(x))^2≥0
(f(x))^2+(g(x))^2≥2f(x)*g(x)
[f(x)^2+g(x)^2]/2≥F(x)
[(x-a)^2+a^2x^2]^2 /2 ≥F(x)
(a^2+1)x^2 /2 -ax+a^2 /2 ≥F(x)
(a^2+1)x^2/2-ax+a^2=[(a^2+1)/2](x-a/(a^2+1)]^2+a^2-a^2/(2a^2+2)
a^2+1≥2a, (1/2)≥a/(a^2+1)
所以x=2时（a^2+1)x^2 /2-ax+a^2/2有最大值5a^2/2+2-2a
F(x)在[1,2] 最大值5a^2/2-2a+2
答
1.0
答
因为a>0且x在[1,2]上，所以可将ax乘入绝对值中得到F(x)=|ax^2-(a^2)x|。
x=0或x=a时，与x轴有交点。
然后画出该函数图像（注意将小于0的部分翻折到x轴上方），对称轴为a/2。
进行分类讨论（过程较简单，略去）。