a.b.c是三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边,方程2ax^2+2bx+c=0有两个实数根如果三角形中a=c,方程有两个不相等的实数根X1,X2,且|X1-X2|=1,求∠B的度数?

问题描述:

a.b.c是三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边,方程2ax^2+2bx+c=0有两个实数根
如果三角形中a=c,方程有两个不相等的实数根X1,X2,且|X1-X2|=1,求∠B的度数?

∵x1,x2是方程2ax^2+2bx+c=0的两实数根,有韦达定理知:
x1+x2=-2b/(2a)=-b/a,x1*x2=c/2a=1/2(∵a=c) (1)
又由|X1-X2|=1知:
(X1-X2)^2=1即x1^2-2x1*x2+x2^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=1 (2)
将(1)代入(2)得:
(-b/a)^2-4*1/2=1即b/a=根3(∵a,b是边,∴负的舍去)
∴b=根3*a,
∴三角形ABC的三边是:a,根3a,a,
(一法)由余弦定理得
cosB=[a^2+a^2-(根3a)^2]/2*a*a=-1/2
所以B=120°.
(二法)过B点作BD⊥AC于D,由等腰三角形三线合一知:
DC=1/2*AC=(根3/2)a,且∠DBC=(1/2)∠ABC,
在直角三角形DBC中,sin∠DBC=DC/BC=(根3/2)a/a=根3/2
∴∠DBC=60°,∴∠ABC=120°.