已知不等式x²－3x+t＜0的解集为﹛x|1＜x＜m,x∈r﹜.1）求T,M的值﹙t=m=2,请回答第二题﹚2﹚若不等式x²-3x+t≥ax在x∈[1,+∞﹚上恒成立,求实数a的最大值
问题描述：
已知不等式x²－3x+t＜0的解集为﹛x|1＜x＜m,x∈r﹜.
1）求T,M的值﹙t=m=2,请回答第二题﹚
2﹚若不等式x²-3x+t≥ax在x∈[1,+∞﹚上恒成立,求实数a的最大值
答
你好，解答如下：
1.因为不等式的解集为1＜x＜m，所以1和m都是x²－3x+t = 0的根
把1带进去1 - 3 + t = 0，所以t = 2，解得另一个根m = 2
2.x² - 3x + 3 ≥ ax
令f（x）= x² - 3x - ax + 3
所以只需要 f 在[1,+∞﹚上恒大于等于0
只需要对称轴x = （3 + a）/2 ≤ 1且f（1）≥ 0
第一个不等式为a ≤ -1
第二个不等式为 1 - 3 - a + 3 ≥ 0，a ≤ 1
所以a ≤ -1
答
x²-3x+2≥ax 在x∈[1,+∞﹚上恒成立
因为x∈[1,+∞﹚ 所以可以把x除过去,
把a分离到一边（这是分离参数法 很常用）
就成了 a≤ (x²-3x+2) / x
右边的分式上下同除以x
得 a≤ x - 3 + 2/x
即a≤ x+ 2/x - 3
要恒成立 所以a ≤ ( x+ 2/x - 3)的最小值
因为x+ 2/x ≥ 2√(x * 2/x ) 也就是 2√2 (此时 当且仅当x=2/x 取得等号 即 x=√2 时 因为√2∈[1,+∞﹚ 满足题意 所以可以取到）
所以 ( x+ 2/x - 3) 的最小值是 2√2 - 3
所以a ≤ 2√2 - 3
所以a最大值为 2√2 - 3