We're going to stay at my mother's for the weekend.它在这是起什么作用的?

翻译成 于（某时间），for the weekend做状语。

介词短语，作状语用，在这个句子里表达目的“为了..."。
如果要对for the weekend提问的话，只能是：
WHY are you going to stay at your mother's (house)?
回答就是你的句子。

这个周末要在妈妈那里度过
是指时间段的状语

我们要去母亲家度周末。

for: 为了什么

为了度周末

for 长达
表时间

意思是“度过”，介词