设f(x)是一个可微函数,定积分(x,0)(t-1)f(x-t)dt=0,求f(x)
问题描述：
设f(x)是一个可微函数,定积分(x,0)(t-1)f(x-t)dt=0,求f(x)
答
原式＝∫(x,0)(t－1)f(x－t)dt＝0
令u＝x－t，则t＝x－u，当t＝x时，u＝0，当t＝0时，u＝x，所以原式化为
－∫(0,x)(x－u－1)f(u)du
＝－∫(0,x)xf(u)du＋∫(0,x)(u＋1)f(u)du＝0
∴∫(0,x)xf(u)du＝∫(0,x)(u＋1)f(u)du.
两端同时求导得
xf(x)＝(x＋1)f(x)＝xf(x)＋f(x)
∴f(x)＝0
答
∫{x,0}(t-1)f(x-t)dt=0；
∫{0,x}(x-u-1)f(u)d(-u)=0……u=x-t；
∫{0,x}(x-1)f(u)du-∫{0,x}uf(u)du=0；
(x-1)∫{0,x}f(u)du=∫{0,x}uf(u)du；
∫{0,x}f(u)du+(x-1)f(x)=xf(x)……两端对 x 求导；
f(x)=f'(x)……（移项并）重复上一步骤；
即 f'(x)/f(x)=1；积分得：f(x)=C*e^x；