在三角形ABC中,AB=AC,D是BC边上任意一点,求证：AB的平方-AD的平方=BD*CD
问题描述：
在三角形ABC中,AB=AC,D是BC边上任意一点,求证：AB的平方-AD的平方=BD*CD
答
BD*CD=(BE-DE)*(BE+DE)
=BE^2-DE^2
=AB^2-AD^2
答
AB^2-AD^2+BD^2=2*AB*BD*cos∠B
AB^2-AD^2+CD^2=2*AC*CD*cos∠C
其中AB=AC ∠B=∠C
两式相加得2(AB^2-AD^2)+BD^2+CD^2=2*AB*cos∠B*BC=AB^2+BC^2-AC^2 = BC^2 (1)
因为BC(BC-CD)=BD(bc-BD)+CD^2
所以2*BD*BC-BD^2+CD^2=BC^2 (2)
联立（1）（2）AB^2-AD^2=BD(BC-BD)=BC*CD
答
设BC边上的中点为E,则AE为三角形ABC的BC边上的高
由勾股定理得 AB^2=AE^2+BE^2
AD^2=AE^2+DE^2
所以 AB^2-AD^2=BE^2-DE^2
再由图可得 BD=BE-DE
CD=CE+DE
因为E是BC的中点 BE=CE
所以 BD*CD=(BE-DE)*(BE+DE)
=BE^2-DE^2
=AB^2-AD^2