过点A（m,-1）作抛物线y=x^2的两条切线,切点分别为（x1,y1）,（x2,y2）,求证x1,m,x2成等差数列.顺便问下,有办法求出 1+1/2+1/3+……+1/n吗?（就像1+2+3+……+n=n(n+1)/2这样）
问题描述：
过点A（m,-1）作抛物线y=x^2的两条切线,切点分别为（x1,y1）,（x2,y2）,求证
x1,m,x2成等差数列.
顺便问下,有办法求出 1+1/2+1/3+……+1/n吗?
（就像1+2+3+……+n=n(n+1)/2这样）
答
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参数法
证明:
可设两点为P(p,p²), Q(q,q²)
易知,过这两个点的切线方程为:
y=2px-p²
y=2qx-q²
解方程,可得交点坐标A((p+q)/2, pq)
∴对比可知:
x1=p x2=q, m=(p+q)/2
∴2m=x1+x2
证毕
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不能!
但是,当n充分大时,有一个公式,就是"尤拉公式",可以近似的表示这个调和数列:
1+(1/2)+(1/3)+......+(1/n)=(lnn)+γ.
γ≈0.577....γ被称为"尤拉常数)
答
证明如下：
有抛物线y=x^2可求出导数,则可求出过点（x1,y1）的切线y=2x1*（x-x1）+x1^2,=2x1*x-x1^2
同理可求出过点（x2,y2）的切线y=2x2*x-x2^2 ,两点相交,联立两式求出交点横坐标
x=（x1+x2）/2=m .变形x1-m=m-x2 .所以成等差公式.
关于第二个1+1/2+1/3+……+1/n,我可以很负责的告诉你,不能求.这是个发散的式子.