四边形ABCD的边长顺次为a,b,c,d,a的平方=ac+bc-ab,b的平方=bd+cd-bc,四边形ABCD是中心对称图形吗?为什么

问题描述:

四边形ABCD的边长顺次为a,b,c,d,a的平方=ac+bc-ab,b的平方=bd+cd-bc,四边形ABCD是中心对称图形吗?为什么

∵ a²=ac+bc-ab
a²+ab=ac+bc
a(a+b)=c(a+b)
∴a=c
又∵b²=bd+cd-bc
b²+bc=bd+cd
b(b+c)=d(b+c)
∴b=d
∴四边形ABCD的两组对边相等
∴四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是中心对称图形

由a^2=ac+bc-ab,所以(a+b)(-a+c)=0,因为:
(a+b)(-a+c)=-a^2-ab+ac+bc.
同理(a+b)(-a+c)=(b+c)(-b+d)=(c+d)(-c+a)=(d+a)(-d+b)=0
由于a、b、c、d均为正数(因为是四边形的边长),所以只有(-a+c)、(-b+d)、(-c+a)、(-d+b)是0时才使四个乘积均为0.也就是说,-a和c互为相反数,-b和d互为相反数等等.推出a=b=c=d,即四边形ABCD的边长相等,他是个菱形,即它是中心对称图形.