已知AB是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴，若把该长轴n等分，过每个等分点作AB的垂线，依次交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，Pn-1，设左焦点为F1，则limn→∞1n(|F1A|+|F1P1|+…+|F1Pn−1|+|F1B|)=______．

问题描述：

已知AB是椭圆

＝1(a＞b＞0)的长轴，若把该长轴n等分，过每个等分点作AB的垂线，依次交椭圆的上半部分于点P₁，P₂，…，P_n-1，设左焦点为F₁，则

lim

n→∞

(|F1A|+|F1P1|+…+|F1Pn−1|+|F1B|)=______．

答

设右焦点为F2，由椭圆的定义可得|F1Pi|+|F2Pi|=2a，由题意知点P1，P2，…，Pn-1关于y轴成对称分布，∴|F1P1|+…+|F1Pn-1|=n−2i＝1(|F1Pi|)＝12n−2i＝1(|F1Pi|+|F2Pi|)＝(n−2)•a=（n-2）a，而|F1A|+|F1B|=2a，故...
答案解析：由椭圆的定义可得|F₁P_i|+|F₂P_i|=2a，由此求得|F₁P₁|+…+|F₁P_n-1|的值，而|F₁A|+|F₁B|=2a，从而求得|F₁A|+|F₁P₁|+…+|F₁P_n-1|+|F₁B|的值，代入要求的式子求出结果．
考试点：椭圆的简单性质；极限及其运算．
知识点：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，求数列的极限，求出故|F₁A|+|F₁P₁|+…+|F₁P_n-1|+|F₁B|=na 是解题的关键和难点，属于难题．

已知AB是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴，若把该长轴n等分，过每个等分点作AB的垂线，依次交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，Pn-1，设左焦点为F1，则limn→∞1n(|F1A|+|F1P1|+…+|F1Pn−1|+|F1B|)=______．

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