在直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=3,BC=6,AB=m(m>3),ED⊥CD且交AB于点E,(1)试判断△DCE与△ADE,△DCE与△BCE是否相似?(2)如果相似,请证明;如果不相似,请指出m为何值时,它们才能相似.

问题描述:

在直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD=3,BC=6,AB=m(m>3),ED⊥CD且交AB于点E,

(1)试判断△DCE与△ADE,△DCE与△BCE是否相似?
(2)如果相似,请证明;如果不相似,请指出m为何值时,它们才能相似.

(1)△DCE与△ADE相似;△DCE与△BCE不一定相似.
(2)①延长CD,BA交于点F,
∵AD∥BC,AD=3,BC=6,
∴△ADF∽△BCF,
∴DF:CF=AD:BC=1:2,
∴DF=CF,
∵ED⊥CD,
∴EF=EC,
∴∠AED=∠CED,
∵∠EAD=∠EDC=90°,
∴△DCE∽△ADE;
②∵DE与BC不平行,
∴∠DEC≠∠BCE,
∵∠B=∠EDC=90°,
∴当∠DCE=∠BCE时,△DCE∽△BCE,
∴△BCE∽△ADE,
∴DE:EC=AD:BC=1:2,
∴∠DCE=30°,
∴∠BCE=∠ADE=∠DCE=30°,
∴AE=AD•tan30°=

3
,BE=BC•tan30°=2
3

∴m=AB=AE+BE=3
3

答案解析:(1)由题意可得:△DCE与△ADE相似;△DCE与△BCE不一定相似.(2)首先延长CD,BA交于点F,易得DE垂直平分CF,即可得∠AED=∠CED,即可证得△DCE与△ADE相似;由题意可得当∠DCE=∠BCE时,△DCE∽△BCE,可得△BCE∽△ADE,则可得∠BCE=∠ADE=∠DCE=30°,继而求得答案.
考试点:相似三角形的判定;直角梯形.
知识点:此题考查了相似三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.