已知a,b,c是复数,(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2=0 是a=b=c 的什么条件?

必要不充分条件。
如果a=b=c，当然有(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2=0。
如果(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2=0
可以举反例：a=1，b=2，得到关于c的一元二次方程，在复数范围内必有解，而显然a,b,c不全相等（至少a≠b）

由题意：因为一个式子的2次方是非负数，又三个非负数相加等于0.所以：
a-b=0
b-c=0
c-a=0
因为： c-a=0，a-b=0
所以：c-b=0,又因为b-c=0
所以：c=b
……以此类推，最后得出a=b=c

是必要条件不是充分条件.
由a=b=c,可得(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2=0,
故(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2=0是a=b=c的必要条件.
取a=0,b=1,c=(1+i√3)/2,
(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2=1+((1-i√3)/2)^2 +((1+i√3)/2)^2=0
但a,b,c互不等于,
故(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0不是a=b=c的充分条件.

(a-b)^2 +(b-c)^2 +(c-a)^2=0
(a-b)^2=0,(b-c)^2=0, (c-a)^2=0
a=b b=c a=c
a=b=c
是充分必要条件