关于周期函数的一个疑问设f(x)的最小正周期为T1 g(x)的最小正周期为T2其中T1,T2属于实数问F(x)=f(x)*g(x)的周期是否为T=[T1,T2]? 同样问F(x)=f(x)+g(x){说明这里的方括号为广义的最小公倍数,是实数域里的最小公倍数,即 T=nT1,T=mT2,m,n为正整数且T尽量小}请予以判断并给出严谨的充要证明谢谢诸位的帮忙!

是的
首先，T=[T1,T2]显然是F（x）的周期，这点不用说明了吧？
下证明T为最小正周期。假设存在T0则T0必须是T1的整数倍，否则如果取g(x)横为0（加法）或1（乘法）则T0不可能是周期

同理T0也需是T2 的整数倍。
由上述两条得T0>=T
矛盾。所以T是F(x)最小正周期

设f(x)的最小正周期为T1
g(x)的最小正周期为T2
其中T1,T2属于实数
F(x)=f(x)*g(x)的周期为T=[T1,T2]，F(x)=f(x)+g(x)
证明：
因为T=[T1,T2]，所以可设T=mT1,T=nT2
则，因为f(x)的最小正周期为T1
所以f(x+mT1)=f(x)
因为g(x)的最小正周期为T2
所以g(x+nT2)=g(x)
即：
f(x)*g(x)=f(x+mT1)*g(x+nT2)=f(x+T)g(x+T)=F(x+T)
所以T为函数F(x)=f(x)*g(x)的周期。
现在证最小周期
假设存在T'.使得F(x+T')=F(x)
则可知有对任意f(x+T')*g(x+T')=f(x)*g(x)
显然，只能有：
f(x+T')=f(x),则T'为f(x)的周期，
g(x+T')=g(x)，则T'为g(x)的周期，
则可知有T'为T1,T2的公倍数。
又为最小正周期，所以，T'为T1,T2最小公倍数
所以，T'即T.
所以F(x)=f(x)*g(x)的周期是否为T=[T1,T2]
反向也可推知
同理可证：T 为F(x)=f(x)+g(x) 的最小正周期

不一定吧.比如说吧,
f(x)=(高斯函数[x] mod 2)
g(x)=1-f(x)
那么他们的周期都是2,相乘之后没有周期.
再比如,f(x)=sinx,g(x)=-sinx,它们的周期都是2π,但是相加之后就没有周期了.