为什么圆柱的体积的三分之一是圆锥的体积?
问题描述：
为什么圆柱的体积的三分之一是圆锥的体积?
不能用以下方法!1
证明：
把圆锥沿高分成k分 每份高 h/k,
第 n份半径：n*r/k
第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2 小朋友不要写
第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3 因为 1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
所以
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3 =pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
因为当n越来越大,总体积越接近于圆锥体积,1/k越接近于0
所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
因为V柱=pi*h*r^2
所以 V锥是与它等底等高的V柱体积的1/3
答
你给的方法其实是微积分,而且是= = 最简单的积分推推导,微积分其实可以得到很多结论,很实用的
【圆锥体积公式推导过程】
将圆锥装满水或沙子倒进等底等高的圆柱中,倒了3次,证明了等底等高的圆锥体积是圆柱体积的1/3不用试验呢？（我不会微积分）还有一个就是无限逼近的算法，由圆柱→圆台→圆锥，由圆柱得到圆台体积：V＝πh(R2＋Rr＋r2)/3 r－上底半径 R－下底半径 h－高继续逼近，直到r1=0，就是圆锥体积【好吧，上面的还是以圆锥体积为基础，还是忘了吧，此外我真的没有什么想法了●▽●】