已知数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a,x2=b,Sn=x1+x2+…+xn,则下面正确的是(  )A. x100=-a,S100=2b-aB. x100=-b,S100=2b-aC. x100=-b,S100=b-aD. x100=-a,S100=b-a

问题描述:

已知数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a,x2=b,Sn=x1+x2+…+xn,则下面正确的是(  )
A. x100=-a,S100=2b-a
B. x100=-b,S100=2b-a
C. x100=-b,S100=b-a
D. x100=-a,S100=b-a

∵xn+1=xn-xn-1
∴xn+2=xn+1-xn,两式相加整理得xn+2=-xn-1
∴xn+5=-xn+2
∴xn-1=xn+5
∴数列{xn}是以6为周期的数列,
x1=a,x2=b,x3=b-a,x4=-a,x5=-b,x6=a-b,
∴x100=x6×16+4=x4=-a,S100=16×(x1+x2+x3+x4+x5+x6)+x1+x2+x3+x4=2b-a,
故选A
答案解析:先通过xn+1=xn-xn-1得出xn+2=xn+1-xn,两式相加求得xn+2=-xn-1,进而推断出xn-1=xn+5,可知数列{xn}是以6为周期的数列,进而看100是6的多少倍数,求得答案.
考试点:数列递推式;数列的求和.


知识点:本题主要考查了数列的递推式.解题的关键是推断出数列的循环的特点.