梯形的重心位置设梯形上底为AB,下底为CD,取AB中点P,CD中点Q,连PQ,在PQ上取G点,使PG+GQ=(AB+2CD):(CD+2AB),则点G为梯形的几何中心(重心).几何作法:1)取AB中点P,CD中点Q,连PQ; 2)延长AB至E,使BE=CD;延长CD至F,使DF=AB; 3)连EF与PQ交于G.则点G为梯形的几何中心(重心).如何证明它的正确性?

问题描述:

梯形的重心位置
设梯形上底为AB,下底为CD,取AB中点P,CD中点Q,连PQ,在PQ上取G点,使PG+GQ=(AB+2CD):(CD+2AB),则点G为梯形的几何中心(重心).
几何作法:
1)取AB中点P,CD中点Q,连PQ;
2)延长AB至E,使BE=CD;延长CD至F,使DF=AB;
3)连EF与PQ交于G.
则点G为梯形的几何中心(重心).
如何证明它的正确性?

这个问题不难证明.
你按照题目里的几何做法,画出图形,然后分析PEG和QFG这两个三角形,由于DE和FQ是平行的,那么角E=角F,又因为角DGE=角QGF(对顶角相等),容易证明三角形PEG和三角形QFG是相似的.
那么根据相似三角形的性质,对应边成比例,所以有:PG:QG=PE:QF,而PE=PB+BE=AB/2+CD,QF=QD+DF=CD/2+AB,那么:
PG:QG=(AB/2+CD):(CD/2+AB)=(AB+2CD):(CD+2AB).得证