设f(2)=1/2,f`(2)=0,∫f(x)dx=1(上限为2,下限为0),求定积分∫x^2f``(2x)dx(上限为1,下限为0）请在30到40分钟内给出答复,必有重赏
问题描述：
设f(2)=1/2,f`(2)=0,∫f(x)dx=1(上限为2,下限为0),求定积分∫x^2f``(2x)dx(上限为1,下限为0）
请在30到40分钟内给出答复,必有重赏
答
∫x^2f``(2x)dx=(1/2)∫x^2d(f`(2x))=(1/2)(x^2f'(2x)-2∫xf`(2x)dx)=(1/2)(x^2f'(2x)-∫xd(f(2x))=(1/2)(x^2f'(2x)-xf(2x)+∫f(2x)dx)=(1/2)[f'(2)-f(2)]-(1/2)∫(0->2)f(t)dt=-1/4-1/2=-3/4