已知函数f(x)=2sin2x,若△ABC满足f(C)+f(B-A)=2f(A),证明:△ABC是直角三角形.

问题描述:

已知函数f(x)=2sin2x,若△ABC满足f(C)+f(B-A)=2f(A),证明:△ABC是直角三角形.

由f(C)+f(B-A)=2f(A)得
2sin2C+2sin(2B-2A)=4sin2A
sin2C+sin(2B-2A)=2sin2A
sin[2π-(2B+2A)]+sin(2B-2A)=2sin2A
sin[-(2B+2A)]+sin(2B-2A)=2sin2A
sin(2B-2A)-sin(2B+2A)=2sin2A
-2sin2Acos2B=2sin2A
2sin2A+2sin2Acos2B=0
sin2A(cos2B+1)=0
所以sin2A=0或cos2B=-1
因为0<A、B<π
所以A=π/2或B=π/2
故△ABC是直角三角形