在宇宙中某处,设想有一个质量为m的小物体,沿着一个很大的光滑金属地球表面做匀速圆周运动（圆轨道半径R与金属球半径相等）金属球密度为ρ=8*10的3次方kg/m3,其中星体对它的引力可忽略不计,求这个小物体在金属上绕行一周所需要的最短时间

GMm/R2=mRw2
w=2∏/T
M=4/3p∏R3

由以上三式可解出T=?

楼主打错字了吧，如果引力可忽略不计，此题就没法做了，应当是重力可忽略不计吧，也就是说万有引力充当了向心力。
由万有引力充当向心力可得：
GMm/R^2=mω^2R
ω=(GM/R^3)^0.5
T=2π/ω=2π/(GM/R^3)^0.5=2π/(4πpG/3)^0.5=2*3.14/(4*3.14*8*10^3*6.67*10^-11/3)^0.5=4200s=1h10min
楼主请不要看重计算结果，请理解思路和方法

根据开普勒第三定律：T2/R3＝K(＝4π^2/M)｛R:轨道半径,T:周期,K:常量(与行星质量无关,取决于中心天体的质量)｝
M=32000πR^3/3
K=3π/8000R^3
T^2=3π/8000
所以T为定值