问一个关于微分方程的题目y=x²(2x+1)dy/dxy=1时x=1,求出微分方程并且算出X=2时Y的值.y不可以用带log的式子表示
问题描述：
问一个关于微分方程的题目
y=x²(2x+1)dy/dx
y=1时x=1,求出微分方程并且算出X=2时Y的值.
y不可以用带log的式子表示
答
∵y=x²(2x+1)dy/dx ==>dy/y=dx/[x²(2x+1)]
==>dy/y=(4/(2x+1)-2/x+1/x²)dx
==>ln│y│=2ln│2x+1│-2ln│x│-1/x+ln│C│ (C是非零常数)
==>y=C[(2x+1)/x]²*e^(-1/x)
显然,y=0是原方程的一个解.即可取C=0
∴原方程的通解是y=C[(2x+1)/x]²*e^(-1/x) (C是任意常数)
∵当y=1时,x=1
代入通解,得C=e/9
∴所求特解是y(x)=[(2x+1)/(3x)]²*e^(1-1/x)
y(2)=[(2×2+1)/(3×2)]²*e^(1-1/2)=25√e/36.