已知定点A(1,1),B(3,3),动点P在x轴正半轴上,若∠APB取得最大值,则P点的坐标A.(根号2,0）B.（根号3,0）C.（根号6,0）D.这样的点P不存在

楼上说的没错～ 
由A、B两点坐标及位置特点,可以看出,动点P在x轴正半轴上的某个位置可能使∠APB取最大值.利用平面几何中的圆外角小于圆周角,设过AB且与x轴正半轴相切的圆与x轴的切点为P,则P点即为所求的点. 
那么怎么求P呢?较常规的做法是设过AB且与x轴正半轴相切的圆的圆心为(x,y),则P(x,0).因为A,B,P三点俱在圆上,因此OA=OB=OP,三者平方也必定相等. 
即y^2=(x-1)^2+(y-1)^2=(x-3)^2+(y-3)^2 
由(x-1)^2+(y-1)^2=(x-3)^2+(y-3)^2可得y=4-x 
因此(4-x)^2=(x-1)^2+(3-x)^2 
解得x=根号6.因此选D. 
上述方法比较容易想到,但计算有点麻烦. 
其实在三角形OBP中,OAP和OPB是相似的, 
因此OP/OB=OA/OP,所以OP^2=OA•OB=√2×√18=6 
故OP=√6 
（那么为什么△OAP∽△OPB呢? 
因为∠POA=∠BOP,∠OAP=∠OPB 
∠OAP=∠OPB,记得是一个定理,必要的话这里给出一种证明： 
如图,∠OPB=∠OPC+∠1=90°+∠1 
而在△OPB中,90°+∠1=180°-∠C 
∠C=∠2,所以90°+∠1=180-∠2=∠OAP 
因此∠OAP=∠OPB）