如图,l1、l2是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在l1上,C在l2上,AM=MB=MN. (Ⅰ)证明AC⊥NB; (Ⅱ)若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.
问题描述:
如图,l1、l2是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在l1上,C在l2上,AM=MB=MN.
(Ⅰ)证明AC⊥NB;
(Ⅱ)若∠ACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.
答
(Ⅰ)由已知l2⊥MN,l2⊥l1,MN∩l1=M,可得l2⊥平面ABN.
由已知MN⊥l1,AM=MB=MN,
可知AN=NB且AN⊥NB.又AN为AC在平面ABN内的射影.
∴AC⊥NB
(Ⅱ)∵Rt△CAN≌Rt△CNB,
∴AC=BC,又已知∠ACB=60°,
因此△ABC为正三角形.
∵Rt△ANB≌Rt△CNB,
∴NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,
连接BH,∠NBH为NB与平面ABC所成的角.
在Rt△NHB中,cos∠NBH=
=HB NB
=
AB
3
3
AB
2
2
.
6
3