H.E.杜登尼 蜘蛛和苍蝇

蜘蛛和苍蝇（2）
如果蜘蛛在一个开口的圆柱形玻璃容器的外面,苍蝇在容器的里面.该容器底面周长为100cm,高80cm,蜘蛛A和苍蝇B在同一个轴截面上,蜘蛛离开顶部40cm(图5—31),苍蝇在圆柱底部,于是蜘蛛要逮住苍蝇必须先爬到圆柱顶部,再进入圆柱容器里面,然后去擒获苍蝇.由于容器是透明的,所以蜘蛛对苍蝇的所在地已一清二楚,所以事先对应爬行的路线早已心中有数,用最合理的方案一举使苍蝇落网,你能说出爬行的路线,以及爬行路线的长度吗?
设想把圆柱底面拿去,再把圆柱纵向剪开摊平(图5—32).
由于我们已有上题的经验,所以容易想到可能要利用“两点问所连的线中,线段最短”这个几何事实.但虽然图形已展开,却不能直接连A、B,因为A、B两点被玻璃所隔开.
从展开图上,我们可以看出,问题是怎样在 上定出一点,使这一点与A的连线以及与B的连线的长度的和为最小.
要判断 上的点Q是否符合要求,我们将借助于B点关于 的对称点B′（具体可以过B作 的垂线,设与 交与C,再延长BC至B′,使CB′＝BC,由此得B′点).这时要判断AQ十QB是否符合要求,只需要改变为判断AQ十QB′符合要求就可以了,因为B、B′关于 对称,必有QB＝QB′.显然AQ、QB′恰在一条直线上时,AQ十QB′＝AQ十QB将最小,由此我们得到求出符合题意的点的方法.
1.作出B点关于 的对称点B′(具体方法已介绍)；
2.再连AB′,设与 相交于P,那么P也就是我们要求的点.
计算爬行路线的长度需用勾股定理,过A作AD⊥BB′,垂足是D,AD等于底圆周长的一半,又因B′C＝BC＝80cm,CD＝40cm,所以B′D＝120cm,于是在直角△AB′D中,（cm）.即AP+PB＝130cm.
想一想,本题中符合条件的点P可以有几个?