如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.(1)求证:△AMB≌△ENB;(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;(3)当AM+BM+CM的最小值为3+1时,求正方形的边长.

问题描述:

如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
作业帮
(1)求证:△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为

3
+1时,求正方形的边长.

作业帮(1)证明:∵△ABE是等边三角形,
∴BA=BE,∠ABE=60°.
∵∠MBN=60°,
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.
即∠MBA=∠NBE.
又∵MB=NB,
∴△AMB≌△ENB(SAS).
(2) ①当M点落在BD的中点时,A、M、C三点共线,AM+CM的值最小.
②如图,连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时,
AM+BM+CM的值最小.
理由如下:连接MN,由(1)知,△AMB≌△ENB,
∴AM=EN,
∵∠MBN=60°,MB=NB,
∴△BMN是等边三角形.
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.
根据“两点之间线段最短”,得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长.
(3) 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,作业帮
∴∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°-60°=30°.
设正方形的边长为x,则BF=

3
2
x,EF=
x
2

在Rt△EFC中,
∵EF2+FC2=EC2
∴(
x
2
2+(
3
2
x+x)2=(
3
+1)2

解得,x1=
2
,x2=-
2
(舍去负值).
∴正方形的边长为
2

答案解析:(1)由题意得MB=NB,∠ABN=15°,所以∠EBN=45°,容易证出△AMB≌△ENB;
(2)①根据“两点之间线段最短”,可得,当M点落在BD的中点时,AM+CM的值最小;
②根据“两点之间线段最短”,当M点位于BD与CE的交点处时,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的长(如图);
(3)作辅助线,过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F,由题意求出∠EBF=30°,设正方形的边长为x,在Rt△EFC中,根据勾股定理求得正方形的边长为
2

考试点:正方形的性质;全等三角形的判定;勾股定理.

知识点:本题考查轴对称的性质和正方形的性质,是一道综合性的题目难度很大.