高一函数数形结合题
问题描述：
高一函数数形结合题
已知：函数f（x）=（x+a）∧2+‖x+a‖在区间（3,+∞）上单调递增,求a的取值范围?
注：∧2指二次方,‖x+a‖指绝对值.
请写出详细过程,并画出图形.
答
我来给你介绍一种超简单的方法,要用到坐标平移.坐标平移到高三要详细学的,实际上在初中已经学过一点皮毛,不过就这一点皮毛就已经够用的了.
f(x)=(x+a)²+|x+a|可改写为f(x)=|x+a|²+|x+a|,它可看成是由函数
y=|x|²+|x|
经过坐标平移得来的.
下面先来画y=|x|²+|x|的图像.
当x≥0时,y=|x|²+|x|=x²+x,这是一个二次函数,作出图像,取x≥0的部分,即y轴右边的部分,如图①的实线.
当x<0时,y=|x|²+|x|=x²-x,这也是一个二次函数,作出图像,取x<0的部分,即y轴左边的部分,如图②的实线.
两个图像合并在一起,便是y=|x|²+|x|的图像,如图③,可见,图像的最低点为x=0,在x<0时,函数单调递减,在x>0时,函数单调递增.
将y=|x|²+|x|的图像向右平移(-a)个单位,得到y=|x-(-a)|²+| x-(-a)|,化简即得
f(x)=|x+a|²+|x+a|
其函数图像如图④,可见,图像的最低点为x= -a,在x<-a时,函数单调递减,在x>-a时,函数单调递增.
要使函数f(x)=|x+a|²+|x+a|在区间(3,+∞)上单调递增,必有
3≥-a,解之得a的取值范围为
a≥-3