如图1所示是游乐场中过山车的实物图片,图2是过山车的模型图.在模型图中半径分别为R1=2.0m和R2=8.0m的两个光滑圆形轨道,固定在倾角为α=37°斜轨道面上的Q、Z两点,且两圆形轨道的最高点A、B均与P点平齐,圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接.现使小车(视作质点)从P点以一定的初速度沿斜面向下运动.已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ=124,g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8.问:(1)若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处,则其在P点的初速度应为多大?(2)若小车在P点的初速度为10m/s,则小车能否安全通过两个圆形轨道?

问题描述:

如图1所示是游乐场中过山车的实物图片,图2是过山车的模型图.在模型图中半径分别为R1=2.0m和R2=8.0m的两个光滑圆形轨道,固定在倾角为α=37°斜轨道面上的Q、Z两点,且两圆形轨道的最高点A、B均与P点平齐,圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接.现使小车(视作质点)从P点以一定的初速度沿斜面向下运动.已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ=

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,g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8.问:

(1)若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处,则其在P点的初速度应为多大?
(2)若小车在P点的初速度为10m/s,则小车能否安全通过两个圆形轨道?


(1)设小车经过A点时的临界速度为v1,则有
mg=

m
v
2
1
R1

设Q点与P点高度差为h1,PQ间距离为L1
L1
R1(1+cosα)
sinα

P到A对小车,由动能定理得:
−(μmgcosα)L1
1
2
m
v
2
1
1
2
m
v
2
01

解得v01=4m/s
(2)Z点与P点高度差为h2,PZ间距离为L2
L2
R2(1+cosα)
sinα

小车能安全通过两个圆形轨道的临界条件是在B点速度为v2且在B点时有:mg=
m
v
2
2
R2

设P点的初速度为:v02
P点到B点的过程,由动能定理得:
−(μmgcosα)L2
1
2
m
v
2
2
1
2
m
v
2
02

解得:v02=8m/s…(2分)
可知v02=8m/s<10m/s,能安全通过.
答:1)若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处,则其在P点的初速度应为4m/s;
(2)若小车在P点的初速度为10m/s,则小车能安全通过两个圆形轨道.
答案解析:(1)小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处时,由重力提供向心力,根据牛顿第二定律求出小球经过A点的速度.由几何知识求出P、Q间的距离SPQ,运用动能定理研究小球从P到A的过程,求解P点的初速度.
(2)首先根据小车在P点的初速度10m/s,与第一问中v0比较,分析小车能否安全通过圆弧轨道O1.若小车恰能通过B点,由重力提供向心力,由牛顿第二定律列方程,求出小车通过B点的临界速度,根据动能定理求出小车在P点的临界速度,再确定小车能否安全通过两个圆形轨道.
考试点:动能定理的应用;牛顿第二定律;向心力.

知识点:对于物体在竖直平面内光滑圆轨道最高点的临界速度v=
gR
,要在理解的基础上加强记忆,圆周运动往往与动能定理、机械能守恒等进行综合.本题难点在于运用几何知识求距离.中等难度.